В общем и целом, вам всё тут расписали. Однако немного дополню своим скромным мнением:
Основы арифметики и булевой логики нужны везде. Да что там основы - чем глубже тем лучше.
Теперь матан.
@newross прав - в кибернетике, та что обработкой сигналов занимается, там полно матана. Он, конечно, не адовый, но дифференцировать, интегрировать и раскладывать в фурье, а также строить корреляции и автокорреляции придётся много. Причём сигналы везде, вокруг - радиосигнал bluetooth, GSM, FM, звуковые, видео кодеки, изображения - всё это тоже сигналы. Дискретные или непрерывные. Ну и конечно прикладнуха - везде где требуется матан и автоматизация рассчётов - там полно работы для программиста-математика.
Фуан вот используется намного реже. Он вообще редко используется где-либо, обычно это какая-то экзотика, где требуются серьёзные физические модели - всякое авиационном, космическое, гидро- моделирование. В общем, в основном прикладное программирование, то есть придётся не столько программировать, сколько разбираться в мат. части.
Ещё кое-что про анализы - в силу конечности компьютерных ресурсов, имеют место быть постоянные переходы от гладкого и бесконечного к дискретному и конечному путём банальных ограничений, пределов, интегрирований и дроблений. Так что без дискретной математики делать нечего вообще в наукоёмких областях. А дискретка по сути и есть программирование. Какие-то её части прокрались во все области - от медиа до каналов передачи данных и их защиты. Хоть она и относительно простая, в ней огромные пробелы. И понятное дело до гомоморфизмов редко доходит, но вот всякие законы больших чисел используются на полную катушку. Ну, здесь вам и теории графов, и теории чисел, и комбинаторики, и логика. Да что там, алгебра то с её 2+2 - дискретная математика. В общем, как и сказал - по сути информатика и есть приложение к дискретке.
Всё остальное используется ровно тогда, когда до этого доходит дело, разве только самые основы структур и пространств. Ну и из преобразований арифметика и анализ. Всё остальное - самая обычная прикладнуха. Вот нужно математикам посчитать что-нибудь быстро, тут появляются прикладные программисты.
