Пользователь появляется в членах группы, но не получает права на ...Чтобы права появились, пользователю нужно перелогиниться - выйти из системы и снова зайти под своим именем. Это не зависит от Active Directory, это не зависит от Powershell. Тот же принцип работает, даже если пользователь локальный и вы добавите его в групу вручную без скриптов - перелогиниваться всё равно нужно, что права группы подействовали.