BATPYIIIKOB

Если start < end то step = 1
Иначе step = -1
Здесь задаётся шаг.. Т.е. либо на уменьшение, либо на увеличение

1. При добавлении текста необходимо выполнять AJAX запрос, который будет передавать данные поля в скрипт обработки на сервере. Как вариант вы можете отлавливать событие либо потери элементом фокуса, либо событие нажатия клавиш, также есть под js плагин, в котором уже реализованы все возможные события по вводу текста в поле - можно использовать его.
2. На сервере (допустим у вас серверная часть на РНР), скрипт принимает входящий запрос и обрабатывает полученные данные валидируя и записывая их в БД.
3. При загрузке страницы идёт заполнение поля из данных полученных в БД.
4. Если же вы желаете синхронизировать изменение данных без обновления страниц на сайте и телефоне, то можете посмотреть в сторону (WebSocket — протокол связи поверх TCP-соединения, предназначенный для обмена сообщениями между браузером и веб-сервером в режиме реального времени), либо поставить таймер на странице и постоянно мониторить через AJAX БД. В случае изменения - данные подтягивать в поле.

прийдётся, естественно, пересмотреть всю структуру сайта. Будет наложение стилей, но вы всегда сможете переопределить тот или иной атрибут.
Помните правило CSS - что будут применяться тот те атрибуты, которые читаются последними (ну или всегда поможет !important;).
Бутстрап можно натянуть, но правильнее было бы изначально верстать с использованием бутстрап, а далее прикручивать плагины и украшалки.

Каждому элементу присвойте дополнительный атрибут data-id - и сохраняйте после его перетаскивания его позицию в массиве.
Далее в куки или localStorage сохраняйте массив данный элемент. При загрузке подгружайте их из хранилища и выводите элементы в необходимом порядке

Если данные в базу кидаешь на сервер через ajax с фронтенда, то для обновления ожидай там же ответ (success допустим или error и т.д.), после, на основании полученных данных уже и меняй фронт содержимое. Можно также через fetch:

fetch(url, options)
  .then(response => response.json())
  .then(result => /* обрабатываем результат */)