Ashlee

Как вариант - заказать на фрилансе аудит РК. Или найти агентство по рекомендациям, которое и аудит сделает и сразу нарисует красивые цифры (было, будет). И положить его на стол руководству. Вот мол ребята - говорят плохо настроено и сделают лучше в 1,3 раза при том же бюджете.
Может доступ не дают, потому что не все 500т.р. доходят до Яндекса? )

Перед тем, как изучать аналитические отчеты, стоит проверить на сколько качественно настроена сама рекламная кампания

В первую очередь рекомендую проверить:
Настройки и параметры рекламной кампании. Очень часто несколько "галочек" дают значительный прирост эффективности
Прописаны ли общие минус слова у кампании
Разделены ли показы на поиске и в рекламной сети яндекса
На сколько оптимально выбранная стратегия показов
Есть ли расширения для объявлений
Есть ли дополнительные ссылки
Произведена ли "кросс минусация" ключевых слов

Посмотреть:
Написано ли на каждую фразу свое рекламное объявление - это трудозатратно, но часто оправдано, особенно у высокочастотных и конкурентных фраз

Первая статистика по серверу хостинга и вашему аккаунту.
Обратитесь к хостеру чтобы дал вам доступ к статистике. Там всякое подробное автоматически пишется.
Используйте инструменты xseo.in для получения информации как у вас вообще дела идут с проектом.

При таком бюджете вы можете нанять хорошего аналитика в штат.
Потратите 100к в месяц, но за 400к на рекламу получите больше эффекта, чем сейчас.

По директу надо посмотреть качество аккаунта. Потом посмотреть количество фраз в каждой рекламной кампании, объявлении. Посмотреть на сколько группа слов подходит тексту объявления (для поиска справедливо, для РСЯ без разницы). Посмотреть на динамику средней цены клика по месяцам. Посмотреть какие позиции заказаны. Где спецразмещение, где вход в гарантию. Посмотреть разделены ли кампании на поиске и на РСЯ. Заданы ли картинки для РСЯ.

Объём работы, конечно, предстоит немалый, если нужно проверить всё качественно и досконально.

Пока ответы на первые Ваши вопросы:

1. Да, из таких данных уже некоторую оценку сделать можно
   
2. Нет, статистика в аналитических сервисах предоставляется за всё время начиная с установки счётчика. Исключение - поисковые фразы, подгружаемые в Google Analytics из Google Console, но это не ваш случай.
   
3. Несмотря на отсутствие подключения кампаний к счётчикам какие-то данные аналитическими сервисами должны распознаваться изначально.
   

Теперь вопросы к подрядчикам:

1. Почему счётчики не были подключены к кампаниям и не были связаны аккаунты сразу при запуске рекламы. Это сразу минус подрядчику.
   
2. Настроены ли цели в счётчиках для отслеживания конверсий. Если нет - значит подрядчику безразлично качество его трафика.
   
3. Почему не предоставлены доступы в аккаунты Яндекс.Директ и Google Adwords по вашим кампаниям. Предоставить доступ - обычная практика. А здесь подозрение, что что-то скрывают.
   

Теперь что следует в первую очередь сделать Вам:

1. Зайдите в отчёты аналитических систем по источникам. Найдите там рекламные системы. Просмотрите показатели эффективности: отказы, время на сайте, средняя глубина просмотра. Если установлены цели - конверсия по целям.
   Сравните эти данные с другими источниками трафика. Я только могу привести примеры плохих показателей, чтобы было от чего отталкиваться, но они могут отличаться в зависимости от специфики сайта: отказы более 30%, время на сайте меньше минуты, глубина просмотра до 2 страниц.
   
2. Сравните цифры по расходам рекламных кампаний из выгрузки с качеством такой кампании в счетчиках. Если на кампанию с не самой лучшей эффективностью тратится больше всего средств - это плохо. Часто подрядчики могут сливать бюджеты, например, на кампании РСЯ.
   
3. Если есть выгрузка по запросам из систем, просмотрите насколько запросы высокочастотные (если пользовались SeoPult, знаете что это значит), насколько соответствуют вашей продукции. Нет ли слива бюджета только на небольшую группу высокочастотных запросов.
   

Это Ваши первые действия, а так можно много чего смотреть и задавать множество вопросов подрядчику. По практике могу сказать, что идеальных кампаний не бывает.