Шлёпа Коммунистка

SELECT chat_rooms.id,
       messages.message AS 'last_message',
       messages.created_at,
       users.username --тут будет собеседник
FROM chat_room_user
         JOIN chat_rooms ON chat_room_user.chat_room_id = chat_rooms.id
         JOIN users ON chat_room_user.user_id = users.id
         JOIN messages ON chat_room_user.chat_room_id = messages.chat_room_id
WHERE users.id <> $user_id
  AND chat_rooms.id IN (SELECT chat_room_id FROM chat_room_user WHERE user_id = $user_id)
  AND messages.id IN (SELECT MAX(messages.id) FROM messages GROUP BY messages.chat_room_id)
ORDER BY messages.created_at DESC;

document.querySelector("#myBtn").addEventListener('click', function (e) {
  e.preventDefault();

 fetch() 
 ...then()
 ...then()
})

Если данные с сервера не приходят - смотрите в консоль информацию об ошибках, а так же рекомендую заглянуть во вкладку Network на панели разработчика в браузере.