Ankhena

Перестать использовать float

Использовать display flex, table или inline-block для соответствующих элементов

Но когда я открываю на мониторе, например 1200px, то показывается часть сайта, а остальные 800px спрятаны справа и появляется горизонтальный скролл.

Логично, именно так он идолжен себя вести.
Или куда он должен деть эти невлезающие 800?

Есть сайт шириной 2000px и НЕ нужно, чтобы он адаптировался.

Он и НЕ адаптируется.

Вам как раз таки и нужно, чтобы он адаптировался. Т.е. занимал 100% ширины. Заавайте относительные размеры.

Не очень ясно, какого эффекта нужно достичь

https://jsfiddle.net/bs84rcm0/
https://jsfiddle.net/vx9osfex/

Как правильно сделать? Куда смотреть?

Смотреть в код.

По звездам: у вас там rowspan стоит больше, чем столбцов.
По кофейной гуще: лишние или незакрытые теги.

select2.github.io/examples.html
www.webmasters.by/articles/html-coding/2458-custom...
css-live.ru/articles-css/spisok-psevdoelementov-dl...

и т.д.

UPD(2020)
Родная стрелка убирается с помощью appearance: none; (не забудьте про вендорные префиксы).
Сверху, с помощью span и абсолюта, накладывается любая другая стрелка. Псевдоэлементы на данный момент с селектом не работают.
Альтернатива: можно стрелку сделать через bg.

https://www.google.ru/search?hl=ru&source=hp&biw=&...

либо оформите код на https://jsfiddle.net/

@keyframes cloud_anime--3{
    0%, 100%{
        right: 50%;
    }
    25%{
        right: -100%;
    }
    50%{
        right: 50%;
    }
    75%{
        right: 100%;
    }
}

Вы понимаете, что эти расстояния разные и неравномерные?

Версии браузеров можно выяснить, например, на browserstack.com. В бесплатной версии только частично.
caniuse показывает поддержку свойств браузерами, а не устройствами.

Как сделать div который листается вниз до определенного момента?

https://jsfiddle.net/9v220k7r/