Александр Нестеров

Если говорить в общем: это реализуется с помощью серверной части и базы данных.
Подробное решение в рамках ответа невозможно описать. С одной стороны - мало вводных, с другой это ресурс для решения конкретных задач, а не фриланс-биржа и не онлайн-университет.
Максимум, можно подсказать общее направление:

1. Гуглите список языков, на которых пишут бекэнд
   
2. Выбираете тот, который вам понравиться больше (важное замечание: написать можно на любом, но часть будет несколько избыточна)
   
3. Изучаете его
   
4. Изучаете принципы работы с Базами Данных (минимум три аспекта: sql, принципы проектирования и нормализации баз)
   
5. Пишите
   

Дополнение: если цель - сохранить статистику каждого юзера только для него и задачи "анализа" не стоит, то можно использовать local storage или куки.

1.Нумерация в структурах данных (списки, кортежи, сеты) начинается с нуля. Поэтому номер последнего элемента всегда на единицу меньше количества элементов. Собственно, условие меньше или равно не верно (c точки зрения языка).
while k <= column_K or n <= rows_N:
2.почему or? Оба значения изменяются одновременно, но при этом количество строк/столбцов не обязано быть одинаковым.

balance = BotDB.get_balance
Скобки где?

Вопрос из разряда "как летать на подводной лодке?".
Может, раз нужно единожды сделать задержку, использовать стандартные методы?
Например sleep из соответствующей стандартной библиотеки.

Как можно переписать код с использованием nunique()?

Если условие - не список изменять вообще никак, то никак. У списка нет метода nunique().

Потому-что input работает не так.
Вопрос: Как он работает?
Ответ: Находите книгу Изучаем Python Марка Лутца (5-е издание, в двух томах)* и читаете. Со временем вы дойдете до раздела в котором будет ответ. Без нормального учебника вы, скорее всего будете и дальше совершать подобные ошибки.
* - Либо любой другой структурированный материал

Критерий один: способность разработчика, который это будет разрабатыать, реализовать систему, удовлетворяющую всем требованиям. Причем, желательно, с минимально-возможными затратами.

Выводится только последний потому-что out пересоздается каждою итерацию а отправка сообщения происходит после завершения цикла. Варианта, глобально, два:

• отправлять сообщение "построчно", каждую итерацию.
  
• Переписать код так, чтобы значение out дополнялось а не пересоздавалось.
  

С помощью циклов. Или ботописатели нынче их, как и основы языка, не проходят?

Приведу очень условный пример.
Есть база данных банка;
Клиент:
- user_id
- другие поля
Кредит:
- какие-то поля
- user_id (Внешний ключ к Клиент)
- сумма кредита

И вод представьте - пришел условный Вася Пупкин и взял кредит на 10 лямов, чтобы открыть бизнес.
Что-то происходит и запись о Васе из таблицы "Клиент" исчезает.
И тут приходите вы, оформить кредит на 100к на условную мазду. Система, видя свободный Васин id присваивает его вам и теперь вы должны банку 10 миллионов 100 тысяч. Правда круто?
Пример абсурдный, но суть, думаю, вы поняли.

Вообще, требуемое, на мой взгляд, лучше реализовать через расширение модели User.
В интернете полно примеров.

А разве у вас "категория" - текстовое поле или все-таки внешний ключ?