1. Это абсолютно разные вещи. Используя vagrant ты как бы имитируешь работу с хостингом (у тебя там свой ubuntu на виртуалке и ты через ssh работаешь), а homestead это всего лишь готовый набор софта. (как у тебя вместе с опенсервером доставляется Php, git, браузеры и т.д.). Если тебе нужно сделать локально код, а дальше тебе похер, то впринципи для тебя разницы нет, но если ты работаешь в команде + важно что-бы сервер и локалка имели одинаковые настройки - тогда другое дело.
2. Тут тебе нужно выучить vuejs до нормального уровня и дальше вопросы отпадут сами по себе
3. Если ты начнешь с инет магазина, будет больше вопросов чем ответов. Начни с блога. Это 1 resource контролер для постов. Дальше можешь сделать несколько ролей для пользователей и их права. Этого тебе хватит с головой что-бы начать вникать