Есть ли более хитрый метод, чем просто хранить файлы расширения .sql локально?
да нет, скорее всего. Git в любом случае работает с файлами.
Вам понадобится скрипт, который будет выгружать и загружать эти файлы из/в БД (pg_dump не умеет извлекать только функции да еще в отдельные файлы, так что это какой-то SELECT FROM pg_proc плюс pg_get_functiondef() может быть для начала).
Плюс будут отдельные проблемы, когда у функций меняются входные параметры. В PG полиморфизм, поэтому CREATE OR REPLACE FUNCTION будет создавать новые функции. Нужно вручную будет удалять неактуальные версии.