1. Делайте так, как вам удобно. Главное помнить про жизненный цикл фрагмента, т.е. на момент вызова метода onPostExecute фрагмента может и не быть.
2. Котлеты и мух надо отделять. В идеале ни в активити, ни в фрагемтах не должно быть создания AsyncTask'ов или просто потоков из-за "нестабильного" жизненного цифла фрагметов/активити. Как вариант использовать событийную модель:
Есть фрагмент Х, есть объект Y который выполняет сетевые запросы
a) фрагмент Х отсылает событие "Хочу выполнить запрос туда-то" =>
б) Y этот запрос делает и сохраняет результат(где-либо) =>
в) Y отсылает событие "Запрос сделан" =>
г) если фрагмент X жив, то он ловит событие и отображает загруженные данные.
Подробнее можно почитать тут:
www.mdswanson.com/blog/2014/04/07/durable-android-...
ps активность повышается у носорогов в период размножения, а в Android есть активити/actvity. Вы же пишете AsyncTask, а не АсинхЗадача.