На nic.ru я приобрёл доменное имя "example".ru, она может отдать только статический index.html.
В то же время у меня есть уже работающая система, которая отдаёт мой сайт по адресу "IP":"port"
Как я могу настроить 301 редирект (или что в целом нужно сделать), чтобы у пользователей оставалось произносимое название в строке браузера, а сам контент в то же время поступал с уже работающего сервиса?
Вам надо прописать свой айпи у nic.ru, а на своём веб-сервере поменять порт на 80 для http и 433 для https.
Все ссылки внутри сайта должны идти без хоста.
Вы всё правильно описали - в конфиге веб-сервера, который отдаёт ваш сайт по айпишнику включите безусловный редирект, а в другом, относящемся к домену - обработку запросов. Если на сайте урлы ресурсов относительные - всё заработает.
Само собой, предварительно нужно проделать стандартные операции в виде изменения DNS А-записи домена с привязкой его к вашему адресу.