Я бы порт на стороне PC проверил. Может, просто не тот порт выбран.
В том же Arduino IDE есть своя консоль для последовательного порта.
Так же на плате есть светодиоды TX/RX. Один из них должен вспыхивать при выполнения Serial.println. Можно по ним проверить, что программа выполняется.
Немного почитал про DUE тут:
https://www.arduino.cc/en/Guide/ArduinoDue -- там есть секция "Native port".
Рекомендуют добавить следующее в "setup" перед использованием порта:
while (!Serial) ;