При регистрации нового типа записей нужно указать свой capability_type и передать массив capabilities с нужными правами, тут есть список и описание codex.wordpress.org/Function_Reference/register_po... ну а дальше, тому типу пользователя которому нужно разрешить доступ к правам(которые вы укажите в массиве capabilities) с помощью плагина позволяющего редактировать права или вручную в коде, даете нужные права. Посмотрите этот вопрос Как настроить capabilities для custom post type в Wordpress?