Почти точно так же как раньше, но есть небольшие дополнения.
Первое что нужно сделать это полностью перейти на https (если хотим что бы в хроме не хромало).
Сделать ajax запрос до 3rdparty.com что бы тот выставил куку, перед этим указав
req.withCredentials = true
Сервер на этот запрос должен дать ответ с нужными заголовками, например:
Access-Control-Allow-Credentials: true
Access-Control-Allow-Methods: GET, POST, PUT, DELETE, OPTIONS
Access-Control-Allow-Origin: https://public.com
Vary: Origin
И конечно установить саму куку
Set-Cookie: {CookieName}={CookieValue}; Max-Age=63072000; Path=/; SameSite=None; Domain=.3rdparty.com; HttpOnly; Secure
Особо хочу отметить заголовок "Access-Control-Allow-Origin" который всегда должен иметь конкретное значение, никаких подстановочных знаков.
А также обязательные атрибуты заголовка "Set-Cookie" - "SameSite=None" и "Secure"
Этот не будет работать на всех устройствах под ios и вроде бы в огненной лисе (там вообще запрещены кросдоменные куки если пользователь не посещал сайт который выставляет куку в основном окне браузера).