Добрый день!
Если на обоих хостингах есть возможность подключения через IMAP можно скопировать письма из папки одного ящика в папку другого ящика через почтовые программы, например Thunderbird.
Но я бы посоветовал перенести на какой нибудь профессиональный почтовик, например Майл ру для бизнеса, и там есть автоматический инструмент Миграция. Плюсы - веб-интерфейс несравним, свои приложения, при смене хостинга не надо будет ничего переносить, безразмерные ящики, которые не будут занимать место на хостинге, и при этом все бесплатно