Если записывать в mp3, например, то вам должно хватить и локального диска, каким бы он маленьким не был (если учесть ваши слова, что переход на более высокий тариф это дорого, при нынешних ценах, то можно предположить, что количество звонков не сильно большое.)
Если все же хочется именно через амазон, то там и api не нужен, а просто монтируете бакет, как локальный диск, а в настройках астериска указываете куда складывать записи.
https://cloud.netapp.com/blog/amazon-s3-as-a-file-... 
