Эффективно ли решать системы дифференциальных уравнений с помощью нейронных сетей?
Если кто-то сталкивался с использованием нейросетей для решения систем дифуров в частных производных, можете сказать, какие преимущества и недостатки по сравнению с классическими методиками, вроде разностных схем и метода конечных элементов? И вообще, используется ли это хоть где-то на практике или нет? Научные работы по теме есть, и довольно старые, например диссертация Васильева от 2007 года, но реализаций я не встречал.
Предметная область — газодинамика, механика деформируемого твёрдого тела, магнитная гидродинамика. Интересуюсь, чтобы понять, стоит ли вообще заниматься этой темой или нет.
После обучения настала пора посмотреть, на что способна нейросеть. Учёные испытали её на 5000 уравнений, уже без готовых ответов (ни одно из них, правда, нельзя было отнести к «нерешаемым»). Нейросеть отлично справилась с задачей, и нашла правильные решения для большинства из них. Особенно хорошо ей удавалось интегрирование, она решила почти 100% из таких испытательных задач, но немного хуже справилась с обычным дифференцированием.
Это всё же немного не то. Большинство систем уравнений математической физики не имеют аналитического решения в общем случае и решаются только численно. А которые имеют, обычно содержат в решении неберущиеся интегралы. Здесь же рассмотрены только уравнения, имеющие аналитическое решение, выражаемое в элементарных функциях.
И опять ни слова о сходимости, ни слова о вычислительных затратах, ни слова о погрешностях.
То, что нейросети могут решать дифуры, известно уже лет 30. Вопрос же заключается в том, превзошли ли они в этом другие методы или нет (хотя бы для отдельного класса задач).
