При открытие файла на запись можно выбрать режим добавления, тогда "курсор" устанавливается на конец файла, и данные начинают писаться в конец. Так же это можно сделать и в ручную.
При записи в файл нужно указывать атрибут Append вместо Write.
Append - добавляет данные в конец существующего файла.
Write - перезаписывает старый файл новыми данными.