Здравствуйте!
Из плагинов можете посмотреть этот -
https://ru.wordpress.org/plugins/ajax-search-lite/
А лучше про версию -
https://ajaxsearchpro.com/
В нем огромное количество функционала и наверняка, вы что-нибудь себе подберете.
Что касается реализации кодом, то вот решение:
1) вешаете триггер на hover, focus или click.
https://api.jquery.com/on/
https://api.jquery.com/click/
https://api.jquery.com/focus/
https://api.jquery.com/hover/
2) Если вам нужно чтобы всегда была обновленная информация о новых рубриках без обновления просматриваемой страницы, то как вариант при срабатывании триггера отправляете ajax запрос и получаете список рубрик.
https://api.jquery.com/jquery.ajax/
А если не нужно, то ajax не нужен. При загрузке страницы отдаете список категорий в виде json на клиент.
3) Далее нужно сверстать скрытый (hidden) блок, который при вышеуказанном триггере отображается.
https://api.jquery.com/toggle/
или
https://api.jquery.com/show/
https://api.jquery.com/hide/
4) Ну и соответственно, пользователь может кликнуть на любую из рубрик, рубрика при помощи CSS & JS добавляете слева в инпут поле поиска и введенный пользователем запрос обрабатывается именно с учетом выбранной рубрики.
5) Ну а дальше о том, как создать форму поиска и искать по выбранной категории прочитайте тут:
https://www.davidtiong.com/blog/how-to-create-word...
https://stackoverflow.com/questions/25358804/wordp...
https://wp-kama.ru/function/get_search_form 
