Я не вижу в документации методов для работы с шаблонами задач. Их действительно нет, или надо смотреть куда-то в секретное место? В ядре есть CTaskItem.addByTemplate, но через REST - task.item.addByTemplate - нет такого метода.
Это я видел, но он read only, если верить структуре. И шаблон сам получить нельзя, да, и создать нельзя...
Впрочем, я уже понял, что для битрикса это нормально.
Пример кода, который создаёт шаблон задачи по ID задачи.
Он так же умеет правильно прикреплять файлы из задачи в шаблон задачи. В том числе, если внутри текста картинки.