Простыми словами: API - это некоторый функционал, предоставляемый каким-либо сервисом, который они позволяют использовать сторонним разработчикам, чтобы те могли взаимодействовать с их сервисом программно.
Так, например, vk.api позволяет управлять группами, стеной, черным списком и прочими штуками, не залезая на сам сайт, а создавая программы, которые будут это делать.