По моему должно быть достаточно забиндить exim на первый ip, вместо 0.0.0.0.
Но я бы еще запускал exim от отдельного пользователя, у которого своя таблица маршрутизации (network namespace), в которой из маршрутов только default со шлюзом для первого ip и default с blackhole с меньшим приоритетом.
Кстати хотелось бы увидеть вывод
ip a s
и
ip r s table all
UPD. Тут, кажется, то что вам нужно
https://unix.stackexchange.com/questions/342607/on... не так я говорил, а более правильно.