Если ты делаешь отдельную кнопку от структуры слайдера, должен использовать методы.
Будет что то типо того
$(".arrow-left").click(function(e) {
$(".gallery-img-box").slick('slickNext');
});
Если ты используешь структуру плагина будет так
$('.gallery-img-box').slick({
slidesToShow: 4,
arrows: true
});
Если ты хочешь кастомить кнопки то используй это prevArrow и nextArrow
$('.gallery-img-box').slick({
slidesToShow: 4,
arrows: true,
prevArrow: '<span class="slick-arrow-LEFTCLASS"></span>',
nextArrow: '<span class="slick-arrow-RIGHTCLASS"></span>'
});