RewriteEngine On
RewriteRule ^/api/v1/(\w+)$ /web/api/v1/$1.php [L,NC]
RewriteRule ^(|/)$ /web/catalog.php [L,NC]
RewriteRule ^(\w+)$ /web/$1.php [L,NC]
RewriteRule ^/api/v1/(\w+)$ /web/api/v1/$1.php [L,NC]
Первому RewriteRule передается путь от того места, где находится .htaccess, до запрошенного файла. Эта строка никогда не начинается со "/".
^/api
на ^api