Для начала -- добавить remote в репозиторий на другом компе:
git remote add <имя remote> <URL>
Если история на github совпадает с локальной историей, просто короче, то можно сразу пушить:
git push <имя remote> <имя ветки>
Если нет -- надо выкачивать и мёржить:
git fetch <имя remote> <имя ветки>
git merge <имя remote>/<имя ветки>
<магия разрешения конфликтов>
после чего можно пушить обратно.