Не совсем понятно, какой объем почты, количество пользователей и как организовано ее хранение (локально или на сервере), поэтому корректный ответ дать сложно. Возможно поможет использование imap сервера. Стороннего, если он не предоставляется текущими серверами. Т.е. просто текущую почту заливаете на imap сервер, подключаете новый почтовый ящик и перемещаете почту туда. Должно получится с любым почтовым клиентом и количество действий зависит от количество каталогов, а не писем.
Если оба почтовых сервера предоставляют imap, то должно быть возможно подключение двух ящиков и простое копирование/перемещение всех писем из одного в другой.