Это две совершенно разные технологии. Они идут рука об руку, но никаких проблем использовать их порознь.
DHCP без NAT — любая домосеть с «белыми» адресами, которая автоматически раздаёт их.
NAT без DHCP — никаких проблем его сделать на обычном домашнем роутере.
Как действует NAT. Берём и корректируем в исходящем пакете какие-нибудь параметры вроде исходящего порта (чтобы узнать, чей пакет). Заодно меняем исходящий адрес на внешний адрес сети. Когда приходит ответ, восстанавливаем исходного абонента, меняем входящий адрес на адрес этого абонента и ретранслируем его во внутреннюю сеть.
Задача простого роутинга (который не NAT) — просто передать пакет дальше по цепочке, уменьшив TTL и определив по таблице маршрутизации, на какое из соединений надо его передавать.