1. Ваш вопрос совсем не об ИТ. И даже не об юриспруденции в ИТ. А об обычных отношениях гражданско-правового характера. То, что работа - это доработка сайта, ничего не меняет - с точки зрения договорных отношений - это просто работа.
2. Заключить полноценный трудовой договор с несовершеннолетним без согласия родителей
невозможно.
Я бы не стал связываться. В случае любого косяка может прилететь очень дорого и очень больно. Именно из-за малолетства.