1) Не трогаем production. Пусть, работает в штатном режиме.
2) Создаем локальную копию сайта или копию сайта на сервере и обязательно закрываем от индексации. Можно даже запароллить через htaccess & htpasswd
3) Включаем рнр версии 7.0 и выше, дорабатываем сайт, обновляем плагины, темы, исправляем баги
4) Берем новый сервер с LAMP + ISP Manager 5 или Vesta. (например, Debian Stretch)
5) Настраиваем новый сервер и переносим сайт
6) включаем дебаг и окончательно проверяем сайт.
7) Если все ок, то изменяем DNS записи, чтобы домен указывал на новый сервер.
Может в ускорении поможет смена шаблона? Но в этом случае все может захромать...
Посмотрите, что советуют вам на сайте
https://gtmetrix.com/
https://developers.google.com/speed/pagespeed/insights/
Причин может быть много... Надо изучить для начала. Это и ресурсы сервера, и конфигурация сервера, и сам сайт ВП и т.д. Также поможет подключение CDN сервиса и подгрузка статичных файлов из кукис фри доменов или из субдомена сайта.