Самая обыкновенная файловая система tmpfs (временная, существующая в ОП), монтируемая на раннем этапе загрузки. Служит для хранения временных файлов на ранних этапах загрузки ОС - pid-файлов, сокетов и т.п. Чаще всего используется udev, systemd, keepalived и прочими "ранними пташками".
Каким образом формируется содержимое каталога временных файлов /run ?
Каждый сервис по необходимости создает там файлы.
Каким образом можно настроить логирование сторонних приложений в системный каталог (/run)?
Не понятно зачем вы хотите туда логировать? Для этого есть /var/log
