$(function(){})
— это мы запускаем действие в момент загрузки страницы. А оборачиваем в анонимную функцию
(function($){ })($);
, чтобы избежать конфликта имен с $.
Автор плагина предусмотрел случай, когда доллар занят под другую библиотеку/функцию/переменную. Чтобы избежать конфликта имен, достаточно будет заменить доллар на jQuery, вот так (хотя сразу так и нужно было писать):
(function($){$(function(){
$('select').styleThis();
})})(jQuery);
Т.е. передав один раз нужный параметр, нам нет нужды переписывать весь плагин.