Я не программист, но так вышло, что должен решить нетривиальную абстрактную задачу. Чтобы её конкретизировать я попытался её представить в виде графа.
Итак:
Есть невзвешенный, связанный, неориентированный граф. Порядок графа = 2^N.
Размер графа = 2^N * (N+1). При этом каждая вершина имеет N ребер и ещё петлю. (в размере графа я посчитал петлю как одно ребро - поэтому (N+1), не знаю, правильно ли это). Рёбра графа соединяют вершины по заранее известному алгоритму.
Для формулировки задачи я должен теперь привести аналогию. Допустим, что есть N школьных классов. И есть большое общежитие, в котором 2^N комнат. Соответственно, каждая комната соединена с N другими комнатами. В каждой комнате можно разместить по одному школьнику. Каждый школьник является членом какого-либо одного класса. Но количество школьников в классе может быть разное. Я сам могу распределить школьников по классам.
А теперь задача - разместить школьников по комнатам надо так, чтобы я, попав в любую комнату, мог за один переход дойти до любой классной комнаты. А классная комната - это комната, где сидит школьник из этого класса. Т.е. мне говорят - класс № 16. Я вижу, что есть 10 комнат, в которых сидят школьники из класса №16, и хотя бы в одну такую комнату я могу попасть, сделав только один переход.
И ещё - я могу и просто остаться в комнате, если я уже в той самой комнате, которая мне нужна (для этого как раз петли).
Сформулировать эту задачу в терминах графов у меня не получается. Я графы помню из Университета просто как понятие, но, к сожалению, не прочувствовал их тогда. Сейчас пытаюсь разобраться, но понимаю, что без совета вряд ли смогу справиться.
Ещё раз скажу, что я не программист. Но очень хочется подступиться как-нибудь к этой задачке. Посоветуйте, пожалуйста, как быть.
Если я все правильно понял, то в каждой комнате должно сидеть по ученику и каждая комната соединена ровно с N комнатами.
В таком случае можно просто перебирать по очереди все комнаты.
При рассмотрении очередной комнаты смотрим какие есть соседи и поселяем в данную комнату ученика рандомно, но так чтобы его класс не совпадал ни с одним из классов соседей.
Таким образом в какую бы комнату вы не вошли вы всегда сможете перейти в комнату с учеником из заданного класса.
Доказать что такое размещение вообще возможно, сложнее, можно посмотреть в сторону раскраски вершин
Задача с условием "количество школьников в классе может быть разное" может не имеет решения. Например, пусть у нас всего 2 класса и школьник из первого класса единственный, а все остальные из второго.
Насколько я понял, вам надо раскрасить вершины N-мерного куба (иначе как объяснить 2^N вершин и N рёбер?) в K цветов так, чтобы в 1-окрестности любой вершины (т.е. она сама плюс все её соседи) присутствовали все цвета.
Задача очень похожа на коды, исправляющие ошибки. Но там обычно ставится двойственное условие - чтобы в 1-окрестности любой вершины каждый цвет встречался не более одного раза.
Если N=2^m-1, то у задачи есть точное решение (c K=N+1), оно описывается кодом Хэмминга: все кодовые слова красим в один цвет, а множество вершин каждого другого цвета получаем из кодовых слов с помощью XOR с константой (своей для каждого цвета).
Для других N надо думать. Но в этом есть смысл только если я правильно понял задачу.
Средний