Как решается данная проблема?
По разному, в зависимости от того, что придумал владелец ресурса. Есть ресурсы, которые требуют его один раз. Есть - которые могут повторно высылать смс и при отсутствии лочат доступ. Есть - которые при попытке допустим пароль сменить или почту перепривязать - запросят смс.
сайт все равно потребует именно номер телефона, с помощью которого была произведена регистрация?
Вполне может, например при попытке отвязать номер и привязать другой. Или при попытке сменить привязанную почту.
вообще безопасно регистрироваться на сайтах в помощью одноразового номера телефона?
Для мусорного ящика или его чего-либо одноразового - вполне себе пойдет. Для вещей, которыми планируете пользоваться - не стоит так делать. Потому что потом захочется скажем мыло перепривязать - и опа!