Особо не имеет смысла, т.к. довольно слабые характеристики для консоли.
игровая среда со своими эксклюзивами
Это как бы якорь, т.к. консоль жива, пока под нее пишут. Писать под нее никто не будет, ибо чем на больших платформах ты запустишь свой продукт, тем больше заработаешь. Эксклюзивы для взрослых консолей как правило делают по договоренности с изготовителем консоли и это является своеобразной "киллерфичей". Потому это могут себе позволить разве что Sony или Microsoft.
Каким языком писать игру?
Вариантов довольно много, но в первую очередь это зависит от игры и от наличиствующих разрабов. Универсальный вариант - C++.
Будет ли это считаться бюджетным геймингом?
Нет. Экономически это не выгорит. Посмотрите тот же Steam Machines. Идея примерно таже, гигант Valve - результат не огонь ...