Ответ оказался банально прост но при этом нигде не задокументированнный (по крайней мере, в документации я не нашел)
В настройках формы, которая высылается на SendGrid, необходимо добавить дополнительеный хедер:
Substitutions:clientname=[your-name];clientemail=[your-email];clientphone=[your-tel];projectdescription=[your-message]
в котором clientname - плейсхолдер вашего темплейта, [your-name] - поле из формы, данные из которого нужно подставить в темплейт письма. Естественно, подставить нужно свои параметры :)