Можно пойти разными путями:
1. Через деплой
2. Через webhooks
Если рассматривать варианты подробнее,
1. вы настраиваете ssh у себя на сервере определенным образом, после чего в настройках репозитория вводите deploy key(что это такое и как все это настраивать, неплохо объясняет сам гитхаб).
2. Вы создаете у себя на сервере скрипт, который будет откликаться на пост запрос по определенному url, лучше всего брать в качестве url'a хеш строку, ее подобрать весьма проблемно. Затем переходите в настройки репозитория, выбираете вебхуки, и создаете новый хук. Указываете в нем адрес страницы, на сервере, которая запускает ваш скрипт. Далее ставите в случае каких событий необходимо отправлять запрос. Допустим в случае Commit. Все остальное делаете на сервере у себя, через скрипт который вы создали.