Надеюсь я правильно понял вопрос:
Создаем скрин, на который надо перейти, из сторибоарда
1) let storyboad = UIStoryboard(name: storyboardName, bundle: nil)
let controller = storyboad.instantiateViewController(withIdentifier: storyboardName) as! MyViewController
Пушим/презентим его на экран
2) navigationContoller.push(controller, animated:true)
или
currentVC.present(controller, animated:true)