Один в один с ТЗ не делал интеграцию но... как один из вариантов:
IVR меню где предлагается ввести номер заказа, читаем из DTMF номер заказа и делаем SQL запрос в базу. Далее, в зависимости от результата, озвучиваем заготовленный ответ.
В этом же IVR предложить доставку, например при нажатии 1 (читаем DTMF) делаем SQL update необходимого значения по идентификатору заказа.
Тут не плохо было бы сделать валидацию по номеру телефона указанному в заказе т.к. будут звонить кто попало и заказывать доставку по случайному номеру заказа.