Ну если углубиться в нюансы работы системы, то с помощью ядерного дебагера можно перехватить бсод и обработать любым способом, однако думаю такие гуру уже вымерли.
Вы можете установить любую систему контроля, например заббикс, и после перезагрузки вам заббикс пришлет сообщение о бсоде и его содержание куда вам надо. Естественно надо будет всё это запрограммировать и настроить.
Ну и присоединюсь к прошлому комментарию, вам стоит почитать не определение бсод, а его предназначение, зачем он был создан и как работает.