Google рекомендует использовать их
клиентские библиотеки для авторизации по протоклу OAuth.
Имитировать браузер cURL'ом и PHP скорее всего, не получится. Если очень уж хочется – смотрите в сторону устаревших мобильных браузеров без JS – как с них выглядит авторизация в Google.