Простой способ: Для формы разрешите AllowDrop и ловите событие DragDrop. В её параметрах будет описание того, что на вас кидают.
Сложный способ: для затравки прочитайте вот это
https://habrahabr.ru/post/179131/.
Там описана реализация на Delphi, но последовательность действий такая же.
Нужно описать все функции, которые используются через DllImport. Вызвать DragAcceptFiles.
Переопределить Wndproc для формы
protected override void WndProc(ref Message m)
, и там обрабатывать событие WM_DROPFILES и через DragQueryFile получить переданный список.