Сможет ли производиться запись файлов на жёсткий диск,если осталось мало места?
Да.
Что будет,когда на hdd совсем закончится место и возможно ли такое?
Как бы это ни странно звучало но там просто закончится место, и он больше не позволит туда записывать, только читать. Файл который пишите окажется испорчен.
В один прекрасный день при загрузке системы стало появляться сообщение биос о том,что на диске есть битые сектора.
Для проверки есть программа самодиагностики SMART, нужно смотреть ее, а не гадать. Если диск исправен, то битые сектора просто переназначаются, и диск продолжает нормально работать.
Исключается вирус,тк был хороший антивирус и браузер с защитой.
Ну вирус тут действительно ни при чем, однако исключать вирус, на основании того что у вас хороший антивирус - довольно легкомысленно.