Пробовали сохранить в фрагменте "Задачи" ссылку на listviewadapter и просто при нажатии на кнопку добавить в данные адаптера свое значение и вызвать notifyDataSetChanged()? Вроде так должно сработать, хотя и не очень хороший путь решения проблемы, как мне кажется.