Нет, нельзя (ни на свой, ни на чужой) потому что WebSockets - это не ajax. Вы можете послать на свой сервер запрос в определённом вами формате, сервер должен будет его разобрать, получить содержимое страницы и отдать в браузер. Почти то же самое, что и ajax, только с пачкой дополнительных телодвижений. Именно об этом я и говорил в прошлом вашем вопросе.