Во втором случае не добавлены указаны промежуточные сертификаты.
Разницу между сайтами можете увидеть сами:
1)
https://www.ssllabs.com/ssltest/analyze.html?d=new...
2)
https://www.ssllabs.com/ssltest/analyze.html?d=rus...
UPD. Еще разные списки Cipher Suites.
В первом случае - Android 6.0 TLS 1.2 TLS_ECDHE_RSA_WITH_AES_256_CBC_SHA
Во втором - Android 6.0 TLS 1.2 > http/1.1 TLS_ECDHE_RSA_WITH_AES_128_GCM_SHA256
Начните с того, что добавьте промежуточные сертификаты так же как на первом сайте.