Кнопка не "делает магию", кнопка вызывает скрипт, результатом которого будет аякс запрос к серверу, в ответ на который сервер пришлет ответ - в данном случае скорее всего урл картинки. Если вам необходимо получить этот урл без всяких нажатий - открываете запросы - в инструментах разработчика любого популярного браузера и смотрите куда был отправлен запрос после нажатия кнопки и с какими параметрами. Далее дело техники - curl или file_get_contenet - вытаскиваете ответ сервера.