Ну или зарегистрировать другой домен + nginx + proxy_pass + set $host + ...
А на сайте случаем нет прямых ссылок на свой (несуществующий) домен?
Если есть тогда придется делать иначе, фильтровать html, css, js и заменять старый домен на новый.
Что-то типа
https://www.ruby-forum.com/topic/178781
UPD. Не понял задачу - nginx или squid? Сайт должен заработать для всех или только тех у кого есть доступ к прокси? Если через прокси, то, возможно, достаточно занести его в host, настроить squid на локальный резолвер имен и все.