Здравствуйте. Нужно зайти по ssh на текущий хостинг и выполнить дамп всех баз данных что у вас существуют. Для этого в терминале нужно ввести:
mysqldump -u username -p --all-databases >> all.sql
Далее уже зайти на новый сервер и выполнить уже другую команду (не забыть перенести конечно созданный файл на новый сервер):
mysql -u username -p < all.sql
Главное ещё что бы у вас был рутовский доступ к бд, что бы избежать несоответствие привелегий на таблицы.
Первая команда делает дамп бд, где параметр
-u это имя пользователя, а
-p если не ошибаюсь то флаг пароля, который вы будете вводить после нажатия на enter. По параметру
--all-databases думаю всё понятно.
Файл дампа после выполнения команды будет расположен в той директории, в который вы будете находиться на момент выполнения команды.