Я бы предложил добавить переменную типа boolean внутри класса фрагмента, например,
private boolean isJSONdownloaded = false;
и тогда вызов мог бы выглядеть так:
if (!isJSONdownloaded) {
new DownloadJSON().execute();
isJSONdownloaded = true;
}
или же можно проверять передаваемый в функцию onViewCreated параметр savedInstanceState на значение null
if (savedInstanceState == null) {
new DownloadJSON().execute();
}
Fragment.onViewCreated