Я в рельсах не разбираюсь, но как знаю, работа с базой данных там есть. Нужно в приложение добавить в форме поле для ввода кода с ютуба, а при сабмите - записать данные из формы в базу данных. перед этим конечно же добавить либо новое поле в таблицу с видео, либо создать таблицу "user_id - video_id". Перед сохранение - конечно же сделать проверку на то, что это действительно код с ютуба, а не какая нибудь инъекция.